{"id":24203,"date":"2025-09-18T07:27:20","date_gmt":"2025-09-18T05:27:20","guid":{"rendered":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/09\/18\/gli-elementi-finiti-piani\/"},"modified":"2025-09-18T07:27:20","modified_gmt":"2025-09-18T05:27:20","slug":"gli-elementi-finiti-piani","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/09\/18\/gli-elementi-finiti-piani\/","title":{"rendered":"Gli elementi finiti piani"},"content":{"rendered":"
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Nei fascicoli di giugno e luglio del Progettista Industriale, i quaderni di progettazione dedicati agli elementi finiti hanno introdotto la teoria di base facendo riferimento specifico agli elementi mono-dimensionali. Questo mese introduciamo gli elementi finiti piani (2D). Questi elementi sono ancora un\u2019approssimazione della realt\u00e0 ma in molti casi sono la scelta migliore grazie alla loro estrema efficienza dal punto di vista computazionale.<\/strong><\/p>\n

di Franco Concli<\/em><\/p>\n

Come descritto nel capitolo precedente<\/a>, \u00e8 possibile derivare le matrici di rigidezza<\/strong> degli elementi piani sia mediante un approccio diretto, sia applicando la procedura formale. Nel caso di problemi piani, e geometrie semplici le relazioni tra deformazioni e tensioni sono infatti note.<\/p>\n

Metodo Diretto<\/h2>\n

Per definizione, un corpo detto piano ha spessore costante. La legge costitutiva di un materiale elastico lineare isotropo \u00e8 per\u00f2 diversa nei casi (ipotesi) di sforzo piano o deformazione piana.<\/p>\n

Nel caso di sforzo piano<\/strong>, ovvero nel caso di componenti di piccolo spessore, \u00e8 possibile assumere che le componenti di tensione \"Titolo:, \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:\u00a0siano nulle. La legge costitutiva risulta pertanto:<\/p>\n

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In cui \"Titolo:\u00a0\u00e8 il modulo elastico, \"Titolo:\u00a0\u00e8 il coefficiente di Poisson, \"Titolo:\u00a0\u00e8 il modulo di taglio dato da \"Titolo:, e \"Titolo:, \"Titolo:, \"Titolo:\u00a0sono le deformazioni iniziali (ad esempio causate da variazioni di temperatura).<\/p>\n

Nel caso di stato di deformazione piana, la variazione di spessore \u00e8 impedita (\"Titolo:) e la relazione costitutiva diventa pertanto:<\/p>\n

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In alternativa, la legge costitutiva pu\u00f2 essere scritta in forma matriciale come:<\/p>\n

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Dove \"Titolo:\u00a0\u00e8 la matrice di elasticit\u00e0 per la deformazione piana e \"Titolo:\u00a0rappresenta il vettore delle tensioni iniziali (se presenti).<\/p>\n

Sia in presenza di tensione che di deformazione piane, la matrice \"Titolo:, che rappresenta il comportamento elastico del materiale in uno scenario anisotropo, contiene elementi non nulli in tutte le sue componenti. Per un problema piano, tale matrice consta di sei costanti elastiche indipendenti.<\/p>\n

Relazioni deformazioni-spostamenti<\/h3>\n

La teoria degli elementi finiti fa largo uso delle relazioni tra deformazioni e spostamenti: il campo di deformazione viene infatti calcolato a partire dal campo di spostamento.<\/p>\n

La deformazione (normale) \"Titolo:\u00a0\u00e8 definita come la variazione di lunghezza in relazione alla lunghezza iniziale, mentre la deformazione angolare \"Titolo:\u00a0\u00e8 la variazione relativa dell\u2019angolo:<\/p>\n

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Tuttavia, in generale gli spostamenti \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:\u00a0nelle direzioni \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:\u00a0sono funzioni delle coordinate \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:. Serve dunque una differenziazione parziale:<\/p>\n

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Queste definizioni sono valide solo nel caso gli spostamenti e le rotazioni siano piccole. In caso contrario, servono definizioni pi\u00f9 generali.<\/p>\n

\"Titolo:\u00a0\u2192 \"Titolo:<\/p>\n

Per calcolare le deformazioni, e quindi le tensioni, \u00e8 necessario conoscere i campi di spostamento \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:\u00a0in ogni punto dell\u2019elemento. Gli spostamenti in un elemento finito piano vengono interpolati a partire dagli spostamenti nodali come segue:<\/p>\n

\"Titolo:\u00a0\u2192 \"Titolo:<\/p>\n

Dove i \"Titolo:\u00a0sono i polinomi di interpolazione mentre \"Titolo:\u00a0\u00e8 detta matrice delle funzioni di forma.<\/p>\n

Combinando le equazioni precedenti si ottiene:<\/p>\n

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Procedura Formale<\/h2>\n

La procedura formale si basa sull\u2019assunzione che l\u2019energia di deformazione per unit\u00e0 di volume\u00a0di un materiale elastico possa essere espressa come:<\/p>\n

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Per interpretare questa espressione si immagini il lavoro necessario per imporre uno spostamento\/rotazione ad un generico grado di libert\u00e0. Assumendo che il nostro grado di libert\u00e0 sia uno spostamento lineare (non una rotazione), l\u2019imposizione dello spostamento \u00e8 possibile solo mediante l\u2019applicazione di una forza che aumenti gradualmente da zero fino a\u00a0\"Titolo:\u200b. Il lavoro compiuto in questo processo \u00e8 dato da:<\/p>\n

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Ci\u00f2 \u00e8 analogo al principio di allungamento di una\u00a0molla lineare\u200b. Cos\u00ec come una molla deformata immagazzina energia potenziale, negli elementi finiti il lavoro viene immagazzinato come\u00a0energia di deformazione\u00a0\"Titolo:\u00a0nell\u2019elemento deformato.<\/p>\n

Per illustrare questo concetto, si consideri il caso in cui lo spostamento\u00a0\"Titolo:\u200b\u00a0corrisponda al grado di libert\u00e0\u00a0\"Titolo:\u200b, ovvero lo spostamento lungo \"Titolo:\u00a0del nodo. Il campo di spostamento dell\u2019elemento assumer\u00e0 la forma:<\/p>\n

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dove\u00a0\"Titolo:\u200b\u00a0\u00e8 la\u00a0funzione di forma\u00a0che descrive come lo spostamento nodale si distribuisca all\u2019interno dell\u2019elemento. Ci\u00f2 significa che lo spostamento in un punto qualsiasi all\u2019interno dell\u2019elemento risulta determinato dallo spostamento nodale\u00a0\"Titolo:\u200b\u00a0e dalla funzione di forma corrispondente. L\u2019energia di deformazione immagazzinata nell\u2019elemento deriva da queste deformazioni, e costituisce la base per i metodi energetici impiegati nell\u2019analisi strutturale.<\/p>\n

La\u00a0matrice di rigidezza dell\u2019elemento\u00a0\u00e8 definita come:<\/p>\n

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La matrice\u00a0\"Titolo:\u00a0\u00e8 chiamata\u00a0matrice di rigidezza dell\u2019elemento.<\/p>\n

Il\u00a0metodo diretto\u00a0per ottenere\u00a0\"Titolo:, utilizzato per barre e travi,\u00a0non \u00e8 di carattere generale, perch\u00e9 non esistono formule che mettano in relazione le\u00a0forze nodali\u00a0con gli\u00a0spostamenti nodali\u00a0per elementi di forma arbitraria.<\/p>\n

Dall\u2019Equazione precedente si osserva per\u00f2 che, per una matrice\u00a0\"Titolo:, la natura della matrice\u00a0\"Titolo:\u00a0dipende interamente da\u00a0\"Titolo:, che a sua volta deriva da\u00a0\"Titolo: tramite una differenziazione prescritta.<\/p>\n

In altre parole, il comportamento di un elemento \u00e8 determinato dalle sue funzioni di forma<\/em>.<\/p>\n

Tipi di Elementi Piani<\/h2>\n

Triangoli a Deformazione Costante \u2013 CST (T3)<\/h3>\n

L\u2019elemento CST \u00e8 forse il pi\u00f9 semplice e antico elemento finito, con 6 gradi di libert\u00e0 (DOF) definiti dagli spostamenti nodali \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:. Il suo campo di spostamento \u00e8 lineare in \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:, combinando movimento rigido e deformazione.<\/p>\n

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Lo spostamento dei punti \u00e8 composto da un moto rigido, descritto dalle costanti \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:\u00a0(senza dipendenza da \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:) e da una deformazione, descritta dalle costanti \"Titolo:, \"Titolo:, \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:.<\/p>\n

Le velocit\u00e0 \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:\u00a0possono essere espresse come serie di Taylor:<\/p>\n

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Pertanto, i coefficienti \"Titolo:\u00a0possono essere associati ai diversi termini del polinomio di Taylor:<\/p>\n

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A loro volta, i coefficienti \"Titolo:\u00a0sono funzioni degli spostamenti nodali \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:. Per un triangolo con nodi in \"Titolo:, \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:, i \"Titolo:\u00a0sono legati agli spostamenti nodali tramite:<\/p>\n

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Una volta noti i coefficienti \"Titolo:, \u00e8 possibile determinare \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:\u00a0come funzioni degli spostamenti nodali \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:. Risolvendo per \"Titolo::<\/p>\n

\"Titolo:,<\/p>\n

\"Titolo:,<\/p>\n

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Dunque il campo di deformazione risulta:<\/p>\n

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Il campo di deformazione derivante dalle funzioni di forma ha la forma \"Titolo::<\/p>\n

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dove \"Titolo:\u00a0e \"Titolo:\u00a0per \"Titolo:\u00a0(distanze tra i nodi), e \"Titolo:\u00a0\u00e8 l\u2019area dell\u2019elemento triangolare.<\/p>\n

La matrice di rigidezza risulta:<\/p>\n

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dove \"Titolo:\u00a0\u00e8 lo spessore (costante) dell\u2019elemento.<\/p>\n

Le deformazioni e tensioni sono costanti all\u2019interno dell\u2019elemento<\/strong>, ma possono variare tra elementi adiacenti.<\/p>\n

Triangoli a Deformazione Lineare \u2013 LST (T6)<\/h3>\n

Questi elementi triangolari hanno 6 nodi, quindi 12 gradi di libert\u00e0, con un campo di spostamento quadratico:<\/p>\n

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La deformazione non \u00e8 costante (come nel CST), ma varia linearmente all\u2019interno dell\u2019elemento. L\u2019elemento \u00e8 quindi pi\u00f9 accurato rispetto al CST, soprattutto in presenza di gradienti di deformazione pi\u00f9 complessi.<\/p>\n

Quadrilatero Bilineare \u2013 Q4<\/h3>\n

L\u2019elemento Q4 \u00e8 un quadrilatero con quattro nodi e 8 gradi di libert\u00e0 (DOF). In termini di coordinate generalizzate, il campo di spostamento \u00e8:<\/p>\n

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Il campo di deformazione risultante \u00e8:<\/p>\n

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Dal campo di deformazione si osserva che \"Titolo:\u00a0\u00e8 indipendente da \"Titolo:, il che implica che l\u2019elemento Q4 non \u00e8 in grado di rappresentare esattamente una trave a sbalzo soggetta a forza trasversale in punta, dove \"Titolo:\u00a0varia linearmente con \"Titolo:. Inoltre, l\u2019elemento Q4 non pu\u00f2 rappresentare esattamente uno stato di pura flessione, sebbene sia in grado di produrre una \"Titolo:\u00a0che varia linearmente con \"Titolo:.<\/p>\n

La pura flessione<\/h4>\n

Secondo la teoria di De Saint-Venant per la pura flessione:<\/p>\n