{"id":24131,"date":"2025-07-25T05:22:30","date_gmt":"2025-07-25T03:22:30","guid":{"rendered":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/25\/un-esempio-di-applicazione-degli-elementi-monodimensionali\/"},"modified":"2025-07-25T05:22:30","modified_gmt":"2025-07-25T03:22:30","slug":"un-esempio-di-applicazione-degli-elementi-monodimensionali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/25\/un-esempio-di-applicazione-degli-elementi-monodimensionali\/","title":{"rendered":"Un esempio di applicazione degli elementi monodimensionali"},"content":{"rendered":"
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Nel precedente Quaderno di Progettazione abbiamo introdotto la teoria degli elementi monodimensionali, mostrando le varie formulazioni. In questa seconda puntata andremo a mostrare come modellare strutture composte da travature multiple e come creare le matrici di rigidezza dell\u2019intera struttura<\/strong>.<\/p>\n

di Franco Concli<\/em><\/p>\n

Nel primo Quaderno di Progettazione<\/a> dedicato al FEM \u00e8 stato presentato il metodo degli Elementi Finiti (FE)<\/strong> con riferimento specifico alle formulazioni monodimensionali. L\u2019approccio 1D, sebbene concettualmente semplice, rappresenta un passaggio essenziale per comprendere i principi alla base del metodo e per sviluppare familiarit\u00e0 con gli strumenti matematici e computazionali utilizzati.<\/p>\n

L\u2019uso di elementi lineari, le funzioni di forma e la formulazione debole del problema forniscono una base solida e spesso sufficiente per modellare sistemi anche complessi come, ad esempio, le strutture reticolari. L\u2019impiego di questo approccio per la risoluzione di problemi reali in cui una sola dimensione domina il comportamento fisico (come barre, travi o condotti), semplifica molto la vita degli ingegneri ed \u00e8 pertanto una pratica largamente diffusa. Vediamo alcuni esempi.<\/p>\n

Applicazione degli elementi monodimensionali a strutture complesse<\/h2>\n

Nel primo Quaderno di Progettazione abbiamo ricavato la matrice di rigidezza<\/strong> per gli elementi barra e trave a partire dalle equazioni di equilibrio e congruenza.<\/p>\n

Nel caso di strutture \u00e8 necessario utilizzare pi\u00f9 di un elemento finito per cui anche la matrice di rigidezza del sistema sar\u00e0 data dalla combinazione delle matrici di rigidezza dei vari elementi che le compongono. Come facciamo riferimento ad una semplice struttura composta da tre elementi barra, compresi rispettivamente tra i punti 1 e 2 (el .1), 2 e 3 (el .2), 3 e 4 (el. 3); tali punti sono detti nodi della struttura.<\/p>\n

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Figura 1: struttura elementare utilizzata come esempio<\/figcaption><\/figure>\n

Singoli elementi monodimensionali<\/h3>\n

I vettori degli spostamenti generalizzati \"Titolo:\u00a0e delle forze generalizzate \"Titolo:\u00a0relativi al primo elemento sono dati da \"Titolo:\u00a0<\/p>\n

Tali vettori, per\u00f2, fanno riferimento al sistema di riferimento locale dell\u2019elemento e non al sistema di riferimento globale. Si rende dunque necessario un ulteriore passaggio che permetta di esprimere la matrice di rigidezza dell\u2019elemento nel sistema di riferimento assoluto.<\/p>\n

Ci\u00f2 pu\u00f2 essere fatto attraverso la matrice di rotazione \"Titolo:.<\/p>\n

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In questo caso la rotazione tra il sistema di riferimento relativo e quello assoluto vale \"Titolo:.<\/p>\n

Dopo le opportune trasformazioni:<\/p>\n

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la matrice di rigidezza dell\u2019elemento \u201cel. 1 \u201cnel sistema di riferimento globale \"Titolo:\u00a0risulta:<\/p>\n

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La stessa operazione pu\u00f2 essere ripetuta per gli elementi finiti \u201cel. 2\u201d e \u201cel. 3\u201d che congiungono i nodi 2 a 3 e 2 a 4.<\/p>\n

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Strutture composte<\/h3>\n

Analogamente a quanto fatto per il singolo elemento, anche per la struttura vengono individuati due insiemi distinti di variabili:<\/p>\n