{"id":24120,"date":"2025-07-22T03:02:58","date_gmt":"2025-07-22T01:02:58","guid":{"rendered":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/"},"modified":"2025-07-22T03:02:58","modified_gmt":"2025-07-22T01:02:58","slug":"unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/","title":{"rendered":"Un\u2019introduzione al metodo degli elementi finiti"},"content":{"rendered":"<div>\n<div style=\"margin: 5px 5% 10px 5%;\"><img loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO-1_CONCLI.png?resize=750%2C432&#038;ssl=1\" width=\"750\" height=\"432\" title=\"\" alt=\"\" data-recalc-dims=\"1\"><\/div>\n<div>\n<p><strong>In questo e nei prossimi quaderni di progettazione andremo ad introdurre il metodo degli elementi finiti. Questo \u00e8 probabilmente l\u2019approccio numerico pi\u00f9 utilizzato per la risoluzione per via numerica dei problemi strutturali in ambito ingegneristico. Attraverso un\u2019introduzione teorica e degli esempi pratici, nei prossimi mesi andremo ad analizzare nel dettaglio la formulazione di varie tipologie di elemento finito. Mostreremo, per ciascuno, le limitazioni ed i benefici attraverso esempi applicativi.<\/strong><\/p>\n<p><em>di Franco Concli<\/em><\/p>\n<p>Il metodo agli elementi finiti (<strong>FEM<\/strong>) \u00e8 un approccio numerico utilizzato per risolvere le equazioni differenziali che governano pressoch\u00e9 ogni fenomeno fisico. Per questo, negli anni, grazie anche ad una costante crescita della potenza di calcolo, il metodo ha trovato una sempre pi\u00f9 larga diffusione in molte discipline ingegneristiche. Le applicazioni pi\u00f9 comuni includono l\u2019analisi strutturale, lo scambio termico, la meccanica dei fluidi ed i campi elettromagnetici. <\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Dai sistemi complessi agli elementi finiti<\/h2>\n<p>Il metodo agli elementi finiti altro non \u00e8 che un approccio sistematico per scomporre problemi complessi in \u201csottosistemi\u201d pi\u00f9 piccoli e gestibili. Questi sono appunto i cosiddetti elementi finiti. Questa scomposizione\/semplificazione \u00e8 possibile attraverso un processo noto come discretizzazione spaziale. Il problema o dominio di interesse viene suddiviso in elementi (segmementi, superfici o volumi elementari) che costituiscono la cos\u00ec detta mesh (o griglia di calcolo). In questo modo, un problema anche complicato viene scomposto in elementi geometricamente semplici come mattoncini di Lego. La soluzione viene quindi calcolata per ogni elementino. <\/p>\n<p>La formulazione di un problema mediante il metodo agli elementi finiti si traduce quindi in un <strong>sistema di equazioni algebriche<\/strong>. L\u2019unione delle soluzioni calcolate per ogni elemento finito, nel suo insieme, altro non \u00e8 che la soluzione approssimata del problema ingegneristico complesso di partenza.<\/p>\n<p>In alcuni casi, strutture o sistemi possono essere risolti per via analitica, soprattutto quando isostatici. Tuttavia, tali scenari sono rari e spesso lo l\u2019onere richiesto per risolvere i problemi per via analitica \u00e8 particolarmente gravoso. Si pensi ad una struttura come la Torre Eiffel. Qualcuno, prima dell\u2019avvento dei computer, ha progettato tale struttura \u2013 con le sue 18.038 parti unite da circa 2.500.000 rivetti \u2013 completamente per via analitica!<\/p>\n<p>Ma queste sono imprese di altri tempi che oggi non hanno pi\u00f9 senso. Il lavoro che, pressoch\u00e9 15 decadi orsono, ha richiesto anni e squadre di ingegneri, oggi pu\u00f2 essere gestito da un piccolo team in tempi molto pi\u00f9 ristretti.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Il metodo agli elementi finiti<\/h2>\n<p>Il metodo agli elementi finiti \u00e8 una tecnica di <strong>approssimazione <\/strong>e <strong>soluzione <\/strong>numerica di funzioni incognite. I campi di applicazione pi\u00f9 comuni sono quello strutturale e quelle termico anche se altri domini come i fluidi o i campi elettromagnetici possono anch\u2019essi essere risolti mediante un approccio FEM. Esistono varie tipologie di elementi finiti, ma alla base di ognuno troviamo semplici equazioni algebriche. Quando un problema complesso viene discretizzato in elementi finiti, le equazioni algebriche di ogni singolo elemento vengono \u201cassemblate\u201d in un sistema di equazioni pi\u00f9 ampio rappresentativo dell\u2019intero problema ingegneristico. Nello studio o analisi di un fenomeno mediante approccio agli elementi finiti, la dimensione della griglia di calcolo gioca un ruolo fondamentale:<\/p>\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Se questa \u00e8 troppo <strong>grossolana<\/strong>, la geometria del sistema non viene rappresentata correttamente. Inoltre, il problema viene risolto in un numero di punti insufficiente a rappresentare correttamente le variabili di campo.<\/li>\n<li>Se la mesh \u00e8 troppo <strong>fine<\/strong>, la soluzione del problema richieder\u00e0 invece troppo tempo.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Come vedremo in seguito, una prima classificazione degli elementi finiti pu\u00f2 essere fatta a secondo dalla loro natura spaziale: elementi 1D, elementi 2D ed elementi 3D. In molti casi, \u00e8 possibile arrivare ad una buona rappresentazione del problema ingegneristico con elementi finiti \u201csemplici\u201d che portino a risultati accurati in tempi di calcolo relativamente ridotti.<\/p>\n<p>Inoltre, \u00e8 interessante notare come quando si crea un modello FEM, all\u2019atto pratico \u00e8 possibile visualizzare \u201cgli elementi finiti\u201d sullo schermo. Tuttavia, va sottolineato come tali elementi non siano \u201creali\u201d: il vero fondamento del metodo risiede non tanto negli elementi ma nei <strong>nodi <\/strong>(vertici degli elementi), che rappresentano i punti in cui la soluzione viene di fatto calcolata.<\/p>\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Gli elementi 1D<\/h2>\n<p>Nell\u2019analisi agli elementi finiti si possono distinguere due tipi di elementi monodimensionali: gli elementi <strong>asta <\/strong>e gli elementi <strong>trave<\/strong>. La differenza principale riguarda il modo in cui le forze e le deformazioni vengono modellate. Gli elementi asta possono venire utilizzati per modellare componenti capaci di resistere solamente a carichi assiali (trazione o compressione). Sono, ad esempio, utilizzati per modellare le strutture reticolari.<\/p>\n<p>Oltre agli elementi asta esistono i cosiddetti elementi trave che, a loro volta, possono essere classificati in elementi trave piani (capaci di resistere solo a flessione nel piano e a taglio trasversale), elementi trave 2D (capaci di resistere anche a forze assiali) ed elementi trave 3D (capaci di resistere a tutte le componenti di forza e momenti nodali).<\/p>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Elementi asta<\/h3>\n<p>Consideriamo una barra elastica a sezione uniforme di lunghezza <em>L<\/em>, con modulo elastico <em>E<\/em>\u00a0e sezione <em>A<\/em>. Questo avr\u00e0 una rigidezza assiale pari a <em>EA\/L<\/em>.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><a href=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO_2_CONCLI.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" fetchpriority=\"high\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"313\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO_2_CONCLI-1024x427.png?resize=750%2C313&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44049\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO_2_CONCLI-1024x427.png?resize=750%2C313&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO_2_CONCLI-300x125.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO_2_CONCLI-768x321.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO_2_CONCLI-1536x641.png 1536w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO_2_CONCLI-2048x855.png 2048w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>Un elemento finito che possa modellare tale semplice sistema pu\u00f2 essere, nella sua versione pi\u00f9 semplice, un segmento che congiunga i due nodi alle estremit\u00e0. I gradi di libert\u00e0 (GDL) di questo elemento finito \u201casta\u201d sono solo <strong>due<\/strong>: gli spostamenti assiali dei due nodi di estremit\u00e0 (ovvero u<sub>1<\/sub> e u<sub>2<\/sub>).<\/p>\n<p>Per imporre uno spostamento d ad uno dei nodi e deformare la trave devono essere applicate delle forze su entrambi i nodi in modo da garantire l\u2019equilibrio dell\u2019elemento. In particolare, dovrebbe essere applicata una forza su uno dei due nodi in modo da indurne lo spostamento mentre sull\u2019altro, la cui traslazione \u00e8 vincolata, si dovrebbe andare a generare una reazione vincolare. Le forze corrispondenti sui due nodi dovranno essere contrapposte in modo da garantire l\u2019equilibrio dell\u2019elemento. Tali forze possono essere calcolate partendo dalla definizione di rigidezza di una asta lineare.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><a href=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"166\" src=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-1024x226.png?resize=750%2C166&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44051\" style=\"width:503px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-1024x226.png?resize=750%2C166&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-300x66.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-768x170.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image.png 1495w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>in cui <em>F<sub>ij<\/sub><\/em> \u00e8 la forza associata al nodo i-esimo che si ha a seguito di uno spostamento del nodo j-esimo. Per garnatire l\u2019equilibrio, le forze esterne <em>F<sub>1<\/sub><\/em> ed <em>F<sub>2<\/sub><\/em> dovranno risultare pari a <em>F<sub>1<\/sub> = F<sub>11<\/sub> \u2013 F<sub>12<\/sub> e F<sub>2 <\/sub>= F<sub>21<\/sub> \u2013 F<sub>22<\/sub>.<\/em><\/p>\n<p>Questi due equilibri, possono essere scritti in forma matricale (tenendo conto della rigidezza dell\u2019elemento) come:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-1.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"119\" src=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-1-1024x163.png?resize=750%2C119&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44052\" style=\"width:710px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-1-1024x163.png?resize=750%2C119&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-1-300x48.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-1-768x122.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-1.png 1484w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p><em>k<\/em>\u00a0prende il nome di matrice di rigidezza, <em>d<\/em> \u00e8 il vettore degli spostamenti nodali mentre <em>r<\/em>\u00a0rappresenta il vettore dei carichi esterni.<\/p>\n<p>Una colonna di <em>k<\/em>\u00a0rappresenta i carichi nodali che devono essere applicati all\u2019elemento per sostenere uno stato di deformazione in cui il GDL corrispondente assuma un valore unitario mentre tutti gli altri GDL nodali risultino nulli.<\/p>\n<p>In questo caso la soluzione \u00e8 semplice poich\u00e9 la relazione tra carichi, spostamenti e rigidezza di un asta \u00e8 nota dalla <strong>teoria di de Saint Venant<\/strong>. Questo approccio per la scrittura delle matrici di rigidezza dell\u2019elemento \u00e8 detto Metodo Diretto. Tuttavia, per la maggior parte degli elementi finiti \u00e8 necessario utilizzare un approccio pi\u00f9 generale che non richieda la conoscenza delle propriet\u00e0 dell\u2019elemento (Procedura Formale).<\/p>\n<p>Ci\u00f2 \u00e8 possibile alla luce della considerazione per cui il lavoro svolto dai carichi nodali sia immagazzinato nell\u2019elemento come energia di deformazione elastica.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><a href=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-2.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"168\" src=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-2-1024x230.png?resize=750%2C168&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44053\" style=\"width:258px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-2-1024x230.png?resize=750%2C168&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-2-300x67.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-2-768x173.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-2.png 1499w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>in cui<em> B<strong> <\/strong><\/em>\u00e8 la matrice che lega deformazione e spostamento,<em> E<\/em> \u00e8 la matrice delle propriet\u00e0 del materiale (detta anche matrice costitutiva) e ???? \u00e8 il volume dell\u2019elemento. Per ottenere <em>B<\/em><strong> <\/strong>per l\u2019elemento asta, lo spostamento assiale ???? di un punto arbitrario all\u2019interndo dell\u2019asta \u00e8 ottenuto mediante un\u2019interpolazione lineare tra i valori nodali ????<sub>1<\/sub> e ????<sub>2<\/sub>. Ci\u00f2 pu\u00f2 essere scritto come:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><a href=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-3.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"74\" src=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-3-1024x101.png?resize=750%2C74&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44054\" style=\"width:598px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-3-1024x101.png?resize=750%2C74&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-3-300x30.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-3-768x76.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-3.png 1201w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>in cui <em>N<\/em> \u00e8 detta matrice delle funzioni di forma. Le funzioni di forma <em>N<sub>i<\/sub><\/em> permettono di descrivere la variazione di <em>u<\/em> con <em>x<\/em> all\u2019interno dell\u2019elemento in funzione degli spostamenti nodali <em>u<sub>i<\/sub>.<\/em><\/p>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-4.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"178\" src=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-4-1024x243.png?resize=750%2C178&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44055\" srcset=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-4-1024x243.png?resize=750%2C178&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-4-300x71.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-4-768x182.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-4-1536x365.png 1536w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-4.png 1820w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>In questo caso le funzioni interpolanti sono lineari. Definito il campo di spostamento <em>u<\/em> per ogni punto all\u2019interno dell\u2019elemento, \u00e8 possibile andare a calcolare la deformazione assiale \u03b5<strong> <\/strong>come:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><a href=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-5.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"717\" height=\"121\" src=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-5.png?resize=717%2C121&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44056\" style=\"width:326px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-5.png?resize=717%2C121&#038;ssl=1 717w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-5-300x51.png 300w\" sizes=\"(max-width: 717px) 100vw, 717px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>Nel caso dell\u2019elemento asta, la matrice <em>B<\/em><strong> <\/strong>risulta:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><a href=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-6.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"401\" height=\"126\" src=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-6.png?resize=401%2C126&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44057\" style=\"width:178px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-6.png?resize=401%2C126&#038;ssl=1 401w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-6-300x94.png 300w\" sizes=\"(max-width: 401px) 100vw, 401px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>I campi di spostamento e deformazione evidenziano la limitazione di un elemento asta a due nodi: pu\u00f2 rappresentare solo uno stato di deformazione costante. Inoltre, tale elemento non risulta adatto a rappresentare sistemi in cui le forze (assiali) siano distribuite (anzich\u00e9 applicate direttamente ai nodi), o aste a sezione variabile.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><a href=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-3_concli.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"273\" src=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-3_concli-1024x373.png?resize=750%2C273&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44046\" srcset=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-3_concli-1024x373.png?resize=750%2C273&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-3_concli-300x109.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-3_concli-768x280.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-3_concli.png 1426w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>Un approccio pratico consiste nel modellare l\u2019asta reale mediante l\u2019impiego di pi\u00f9 elementi finiti e applicare il carico distribuito ai vari nodi. In questo modo \u00e8 possibile arrivare ad una soluzione approssimata la cui accuratezza cresce all\u2019aumentare del numero di elementi finiti.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><a href=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-4.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"364\" src=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-4-1024x497.png?resize=750%2C364&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44047\" srcset=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-4-1024x497.png?resize=750%2C364&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-4-300x146.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-4-768x373.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-4.png 1458w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<h3 class=\"wp-block-heading\">Elementi trave<\/h3>\n<p>Per determinare la matrice di rigidezza di un elemento trave 2D, si consideri innanzitutto l\u2019elemento trave piano i cui gradi di libert\u00e0 sono costituiti dai soli spostamenti verticali dei due nodi (<em>v<sub>1<\/sub><\/em> e <em>v<sub>2<\/sub><\/em>) e dalle rotazioni attorno all\u2019asse <em>z<\/em> ( <em>q<sub>z1<\/sub><\/em> e <em>q<sub>z2<\/sub><\/em> ). La Figura mostra l\u2019applicazione di uno spostamento o rotazione unitario e le rigidezze <em>k<\/em> associate.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image size-large\"><a href=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-5.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"330\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-5-1024x450.png?resize=750%2C330&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44048\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-5-1024x450.png?resize=750%2C330&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-5-300x132.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-5-768x338.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-5-1536x675.png 1536w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/foto-5.png 1742w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>La matrice di rigidezza pu\u00f2 essere costruita colonna per colonna secondo<\/p>\n<p>la regola generale vista nel paragrafo precedente. Per ottenere i termini di una colonna, \u00e8 necessario risolvere un problema staticamente indeterminato (struttura iperstatica). Ci\u00f2 pu\u00f2 essere facilmente fatto sfruttando il <strong>Principio dei Lavori Virtuali<\/strong>.<\/p>\n<p>In alternativa, \u00e8 possibile procedere, come nel caso precedente, con un procedimento formale.<\/p>\n<p>Lo spostamento ???? di un elemento trave pu\u00f2 essere espresso come un polinomio del terzo ordine in ???? (l\u2019elemento ha 4 gradi di libert\u00e0, quindi 4 costanti)<sub>.<\/sub><\/p>\n<p>La derivata rispetto a ???? rappresenta la rotazione<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><a href=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-7.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"555\" height=\"159\" src=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-7.png?resize=555%2C159&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44058\" style=\"width:262px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-7.png?resize=555%2C159&#038;ssl=1 555w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-7-300x86.png 300w\" sizes=\"(max-width: 555px) 100vw, 555px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>Ogni costante ????<sub>????<\/sub> pu\u00f2 essere espressa in termini di gradi di libert\u00e0 nodali effettuando le opportune sostituzioni.<\/p>\n<p>Ad esempio, con riferimento al primo grado di libert\u00e0 ????<sub>1<\/sub> = 1 \u00e8 possibile scrivere<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-8.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"642\" height=\"438\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-8.png?resize=642%2C438&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44059\" style=\"width:320px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-8.png?resize=642%2C438&#038;ssl=1 642w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-8-300x205.png 300w\" sizes=\"(max-width: 642px) 100vw, 642px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>da cui:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-9.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"517\" height=\"134\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-9.png?resize=517%2C134&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44060\" style=\"width:231px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-9.png?resize=517%2C134&#038;ssl=1 517w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-9-300x78.png 300w\" sizes=\"(max-width: 517px) 100vw, 517px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>Ripentendo l\u2019operazione per tutti i gradi di libert\u00e0 si arriva a scrivere<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><a href=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-10.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"705\" height=\"265\" src=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-10.png?resize=705%2C265&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44061\" style=\"width:333px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i1.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-10.png?resize=705%2C265&#038;ssl=1 705w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-10-300x113.png 300w\" sizes=\"(max-width: 705px) 100vw, 705px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>La curvatura della trave \u00e8 la derivata seconda di ???? rispetto ad<em> x<\/em>.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full is-resized\"><a href=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-11.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"628\" height=\"135\" src=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-11.png?resize=628%2C135&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44062\" style=\"width:330px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-11.png?resize=628%2C135&#038;ssl=1 628w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-11-300x64.png 300w\" sizes=\"(max-width: 628px) 100vw, 628px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>Il momento flettente e le sollecitazioni flessionali sono calcolati dalla curvatura, che a sua volta \u00e8 funzione dei gradi di libert\u00e0 nodale:<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large\"><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-12.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"161\" src=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-12-1024x220.png?resize=750%2C161&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44063\" srcset=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-12-1024x220.png?resize=750%2C161&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-12-300x64.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-12-768x165.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-12.png 1380w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<p>Il momento flessionale varia, dunque, linearmente con <em>x<\/em> in ciascun elemento. Un modello agli elementi finiti con elementi trave fornisce una soluzione esatta quando la forza e\/o il momento sono applicati ai nodi. Un carico uniformemente distribuito, invece, produrrebbe una deflessione di quarto grado in <em>x<\/em>, mentre la funzione di forma \u00e8 solamente di terzo ordine. Nel caso di elementi trave piani, un carico distribuito pu\u00f2 essere applicato, come forze equivalenti applicate ai nodi.<\/p>\n<p>La combinazione delle matrici di rigidezza dell\u2019elemento asta (GDL <em>u<\/em>) con quella dell\u2019elemento trave piana (GDL <em>v<\/em> e \u03b8<sub>z<\/sub>) permette di ottenere la matrice di rigidezza dell\u2019elemento trave 2D.<\/p>\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-large is-resized\"><a href=\"https:\/\/i0.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-13.png?ssl=1\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"750\" height=\"408\" src=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-13-1024x557.png?resize=750%2C408&#038;ssl=1\" alt=\"\" class=\"wp-image-44064\" style=\"width:553px;height:auto\" srcset=\"https:\/\/i2.wp.com\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-13-1024x557.png?resize=750%2C408&#038;ssl=1 1024w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-13-300x163.png 300w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-13-768x418.png 768w, https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/image-13.png 1039w\" sizes=\"(max-width: 1024px) 100vw, 1024px\" data-recalc-dims=\"1\"><\/a><\/figure>\n<h2 class=\"wp-block-heading\">Conclusioni<\/h2>\n<p>In questo primo Quaderno di Progettazione dedicato al FEM abbiamo presentato il metodo degli elementi finiti applicato a problemi monodimensionali, mettendo in evidenza le fasi fondamentali del processo.<br \/>L\u2019approccio 1D, sebbene concettualmente semplice, rappresenta un passaggio essenziale per comprendere i principi alla base del metodo e per sviluppare familiarit\u00e0 con gli strumenti matematici e computazionali utilizzati.<\/p>\n<p>L\u2019uso di elementi lineari, funzioni di forma e formulazione debole forniscono una base solida per affrontare sistemi pi\u00f9 complessi in due o tre dimensioni. Inoltre, l\u2019analisi 1D \u00e8 spesso sufficiente per risolvere problemi reali in cui una sola dimensione domina il comportamento fisico (come barre, travi o condotti), semplificando molto la vita degli ingegneri\u2026<\/p>\n<p>Il prossimo passo consister\u00e0 nell\u2019estendere questi concetti a geometrie e carichi pi\u00f9 complessi, affrontando il metodo degli elementi finiti in dimensioni superiori.<\/p>\n<\/div>\n<p>L&#8217;articolo <a href=\"https:\/\/www.ilprogettistaindustriale.it\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/\">Un\u2019introduzione al metodo degli elementi finiti<\/a> sembra essere il primo su <a href=\"https:\/\/www.ilprogettistaindustriale.it\/\">Il Progettista Industriale<\/a>.<\/p>\n<\/div>\n<p><a href=\"https:\/\/www.ilprogettistaindustriale.it\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/\">Vai alla fonte.<\/a><\/p>\n<p>Autore: Roberta Falco<\/p>\n<p class=\"wpematico_credit\"><small>Powered by <a href=\"http:\/\/www.wpematico.com\" target=\"_blank\" rel=\"noopener noreferrer\">WPeMatico<\/a><\/small><\/p>\n<p><strong>_________________________________<\/strong><\/p>\n<p><strong>CFD FEA Service SRL<\/strong> &egrave; una societ&agrave; di servizi che offre <em>consulenza<\/em> e <em>formazione<\/em> in ambito <strong>ingegneria<\/strong> e <strong>IT<\/strong>. Se questo post\/prodotto ti &egrave; piaciuto ti invitiamo a:<\/p>\n<ul>\n<li>visionare il nostro <a href=\"https:\/\/cfdfeaservice.it\/index.php\/blog\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">blog<\/a><\/li>\n<li>visionare i <a href=\"https:\/\/cfdfeaservice.it\/index.php\/prodotti\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">software<\/a> disponibili - anche per la formazione<\/li>\n<li>iscriverti alla nostra newsletter<\/li>\n<li>entrare in contatto con noi attraverso la <a href=\"https:\/\/cfdfeaservice.it\/#ribbon\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">pagina contatti<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<p>Saremo lieti di seguire le tue richieste e fornire risposte alle tue domande.<\/p>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>In questo e nei prossimi quaderni di progettazione andremo ad introdurre il metodo degli elementi finiti. Questo \u00e8 probabilmente l\u2019approccio numerico pi\u00f9 utilizzato per la risoluzione per via numerica dei problemi strutturali in ambito ingegneristico. Attraverso un\u2019introduzione teorica e degli esempi pratici, nei prossimi mesi andremo ad analizzare nel dettaglio [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":8,"featured_media":24121,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"spay_email":""},"categories":[57],"tags":[],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/test.cfdfeaservice.it\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/FOTO-1_CONCLI.png?fit=2442%2C1408&ssl=1","yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v15.1.1 - https:\/\/yoast.com\/wordpress\/plugins\/seo\/ -->\n<title>Un\u2019introduzione al metodo degli elementi finiti - CFD FEA\/FEM Service<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"en_GB\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Un\u2019introduzione al metodo degli elementi finiti - CFD FEA\/FEM Service\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"In questo e nei prossimi quaderni di progettazione andremo ad introdurre il metodo degli elementi finiti. Questo \u00e8 probabilmente l\u2019approccio numerico pi\u00f9 utilizzato per la risoluzione per via numerica dei problemi strutturali in ambito ingegneristico. Attraverso un\u2019introduzione teorica e degli esempi pratici, nei prossimi mesi andremo ad analizzare nel dettaglio [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"CFD FEA\/FEM Service\" \/>\n<meta property=\"article:publisher\" content=\"https:\/\/www.facebook.com\/cfdfeaservice\" \/>\n<meta property=\"article:published_time\" content=\"2025-07-22T01:02:58+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/static.tecnichenuove.it\/ilprogettistaindustriale\/2025\/07\/FOTO-1_CONCLI.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\/\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"Organization\",\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#organization\",\"name\":\"CFD FEA SERVICE SRL\",\"url\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/\",\"sameAs\":[\"https:\/\/www.facebook.com\/cfdfeaservice\",\"https:\/\/www.linkedin.com\/company\/11421185\/\",\"https:\/\/www.youtube.com\/channel\/UCr2h1DbpsNDKJSBAgeWMbfA\"],\"logo\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#logo\",\"inLanguage\":\"en-GB\",\"url\":\"https:\/\/i2.wp.com\/test.cfdfeaservice.it\/wp-content\/uploads\/2018\/07\/CFD-FEA-SERVICE-Compact.png?fit=677%2C178&ssl=1\",\"width\":677,\"height\":178,\"caption\":\"CFD FEA SERVICE SRL\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#logo\"}},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#website\",\"url\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/\",\"name\":\"CFD FEA\/FEM Service\",\"description\":\"Servizi di ingegneria 4.0\",\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#organization\"},\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/?s={search_term_string}\",\"query-input\":\"required name=search_term_string\"}],\"inLanguage\":\"en-GB\"},{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/#primaryimage\",\"inLanguage\":\"en-GB\",\"url\":\"https:\/\/i0.wp.com\/test.cfdfeaservice.it\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/FOTO-1_CONCLI.png?fit=2442%2C1408&ssl=1\",\"width\":2442,\"height\":1408},{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/#webpage\",\"url\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/\",\"name\":\"Un\\u2019introduzione al metodo degli elementi finiti - CFD FEA\/FEM Service\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/#primaryimage\"},\"datePublished\":\"2025-07-22T01:02:58+00:00\",\"dateModified\":\"2025-07-22T01:02:58+00:00\",\"inLanguage\":\"en-GB\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/\"]}]},{\"@type\":\"Article\",\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/#article\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/#webpage\"},\"author\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#\/schema\/person\/c3b6ebdd7f80794fe6e6657f2f5335e7\"},\"headline\":\"Un\\u2019introduzione al metodo degli elementi finiti\",\"datePublished\":\"2025-07-22T01:02:58+00:00\",\"dateModified\":\"2025-07-22T01:02:58+00:00\",\"mainEntityOfPage\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/#webpage\"},\"publisher\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#organization\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2025\/07\/22\/unintroduzione-al-metodo-degli-elementi-finiti\/#primaryimage\"},\"articleSection\":\"Normativa\",\"inLanguage\":\"en-GB\"},{\"@type\":\"Person\",\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#\/schema\/person\/c3b6ebdd7f80794fe6e6657f2f5335e7\",\"name\":\"CFD FEA SERVICE\",\"image\":{\"@type\":\"ImageObject\",\"@id\":\"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/#personlogo\",\"inLanguage\":\"en-GB\",\"url\":\"https:\/\/secure.gravatar.com\/avatar\/a34dbcf675cd4152f1184664b3adcb72?s=96&d=mm&r=g\",\"caption\":\"CFD FEA SERVICE\"}}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p9JrPq-6h2","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/24120"}],"collection":[{"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/8"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=24120"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/24120\/revisions"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/24121"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=24120"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=24120"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=24120"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}