{"id":23320,"date":"2024-06-29T03:00:35","date_gmt":"2024-06-29T01:00:35","guid":{"rendered":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2024\/06\/29\/simulazioni-accoppiate-la-differenza-tra-le-metodologie-di-accoppiamento\/"},"modified":"2024-06-29T03:00:35","modified_gmt":"2024-06-29T01:00:35","slug":"simulazioni-accoppiate-la-differenza-tra-le-metodologie-di-accoppiamento","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2024\/06\/29\/simulazioni-accoppiate-la-differenza-tra-le-metodologie-di-accoppiamento\/","title":{"rendered":"Simulazioni accoppiate: la differenza tra le metodologie di accoppiamento"},"content":{"rendered":"
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Il primo passo per meglio scegliere le strategie di soluzione per simulazioni<\/a> ingegneristiche accoppiate (ed esempio fluido struttura) \u00e8 capire la differenza tra le differenti strategie di accoppiamento.<\/strong><\/p>\n

di Franco Concli<\/em><\/p>\n

In particolare, andremo a parlare di strategie \u201cmonolitiche<\/em>\u201d o \u201cstaggered<\/em>\u201d per quanto riguarda l\u2019integrazione temporale e strategie \u201cpartizionate<\/em>\u201d (con accoppiamento debole o forte) per quanto riguarda l\u2019integrazione spaziale.<\/p>\n

Cosa sono le strategie di accoppiamento monolitiche e staggered<\/h2>\n

Per meglio comprendere le nozioni teoriche, \u00e8 utile fare riferimento ad un esempio concreto, seppur semplice. Ogni problema accoppiato, come pu\u00f2 essere un problema termoelastico, viene rappresentato, matematicamente parlando, da un set di equazioni differenziali alle derivate parziali nello spazio e nel tempo. Ad esempio, il comportamento di un fluido pu\u00f2 essere descritto da una equazione di conservazione della massa (continuit\u00e0), una equazione di conservazione della quantit\u00e0 di moto e una di conservazione dell\u2019energia. Mediante l\u2019utilizzo di una tecnica numerica come il metodo agli elementi finiti (FEM), il sistema di equazioni differenziali a derivate parziali pu\u00f2 essere ridotto ad un set di equazioni differenziali ordinarie risolvibile mediante integrazione nel tempo.<\/p>\n

Le principali differenze<\/h3>\n

A questo punto entrano in gioco le strategie \u201cmonolitiche\u201d o \u201cstaggered\u201d. La differenza principale tra queste due classi di integrazione \u00e8 da individuarsi nel modo in cui il set di equazioni differenziali ordinarie che rappresentano il nostro problema viene risolto.<\/p>\n

Negli approcci \u201cmonolitici\u201d, come dice il termine stesso, tutte le equazioni vengono risolte in un unico step<\/strong> mediante la stessa strategia. Negli approcci \u201cstaggered\u201d, invece, le equazioni differenziali sono risolte individualmente <\/strong>in ordine sequenziale.<\/p>\n

Esistono poi gli approcci che permettono una integrazione spaziale. Queste tecniche di soluzione sono utili, ad esempio, nel caso di problemi accoppiati fluido-struttura. In questo caso, i domini spaziali corrispondenti all\u2019area occupata dal fluido e dal solido vengono rappresentati da modelli (equazioni) differenti e interagiscono tra loro solo all\u2019interfaccia. Di fatto la soluzione numerica di questo tipo di problemi prevede la soluzione indipendente dei sottodomini (e.g. il fluido ed il solido) che poi vengono messi in comunicazione tra loro mediante l\u2019imposizione di vincoli all\u2019interfaccia. A titolo di esempio di pensi ad un corpo elastico immerso in un fluido. Quest\u2019ultimo porter\u00e0 alla nascita di forze fluidodinamiche sulle facce esterne del corpo elastico. Queste sono un input per il solutore strutturale che permetter\u00e0 di determinare la deformazione elastica del corpo. A questo punto, la deformata del corpo, alias gli sposamenti dei suoi boundary, sar\u00e0 un input per il solutore fluidodinamico. La variazione della forma del corpo solido, infatti, porter\u00e0 ad una variazione del flusso e, di conseguenza, ad una modifica delle spinte fluidodinamiche su di esso.<\/p>\n

Vediamo ora nel dettaglio i vari approcci con degli esempi molto semplici.<\/p>\n

Approccio monolitico per l\u2019integrazione temporale<\/strong><\/h2>\n

Per meglio capire l\u2019approccio \u201cmonolitico\u201d per l\u2019integrazione spaziale, si consideri un semplice sistema dinamico masse-molle (m-k) soggetto a forzanti esterne (b) (Figura 1).<\/p>\n

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Figura 1: Sistema massa-molla.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n

Matematicamente il sistema pu\u00f2 essere descritto come (dove u \u00e8 lo spostamento delle varie masse):<\/p>\n

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Dopo un opportuno cambio di variabile per ridurre l\u2019ordine del sistema da secondo a primo \"\" \u00e8 possibile riscrivere:<\/p>\n

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Il vettore \"\" ovvero la soluzione del sistema in termini di spostamenti e velocit\u00e0, richiede la soluzione contemporanea di tutte le equazioni (ad esempio utilizzando Eulero implicito) portando a:<\/p>\n

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Questo approccio \u00e8 detto monolitico.<\/p>\n

Approccio \u201cstaggered\u201d per l\u2019integrazione temporale<\/strong><\/h2>\n

In alternativa all\u2019approccio monolitico, per l\u2019integrazione temporale \u00e8 possibile seguire un approccio \u201cstaggered\u201d. Analizziamo lo stesso sistema masse-molle (Figura 1). Scritto in forma non-matriciale, il set di equazioni differenziali ordinarie che descrivono il sistema risulta:<\/p>\n

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Queste sono risolvibili numericamente nuovamente con Eulero-implicito risultando in:<\/p>\n

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L\u2019idea per la risoluzione non monolitica \u00e8 quella di fare delle assunzioni per i valori di \"\" in modo da poter risolvere, per un dato istante di tempo, l\u2019equazione per \"\". Risolta questa, si passa alla risoluzione di \"\" per cui \u00e8 necessaria solo una ipotesi su \"\". Risolte tutte e tre le equazioni \"\", si riparte in modo iterativo dalla prima finch\u00e9 il criterio di convergenza scelto non risulta rispettato e poi di passa all\u2019istante temporale successivo \"\".<\/p>\n

Approccio \u201cpartizionato\u201d per la discretizzazione spaziale<\/strong><\/h2>\n

Una alternativa completamente differente per la soluzione dello stesso problema pu\u00f2 essere rappresentata dagli approcci \u201cpartizionati\u201d. Questi prevedono la suddivisione del sistema in domini spaziali separati che vengono risolti separatamente e poi messi in comunicazione, mediante l\u2019imposizione di opportuni vincoli, all\u2019interfaccia. Sempre con riferimento al sistema a tre masse visto sopra, si immagini di dividerlo come da figura 2. La massa m2<\/sub> viene divisa in due e vengono introdotte delle nuove coordinate \"\".<\/p>\n

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Figura 2: sistema masse-molle<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n

All\u2019interfaccia, pu\u00f2 essere applicata la terza legge di Newton con la nascita di due forze uguali ed opposte \"\". \u00c8 quindi possibile scrivere due equazioni in forma matriciale, per i due sottodomini.<\/p>\n

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All\u2019interfaccia, oltre alla condizione di equilibrio delle forze, sar\u00e0 possibile imporre la compatibilit\u00e0 cinematica per cui<\/p>\n

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permettendo cos\u00ec la risoluzione del sistema.<\/p>\n

Il mappaggio<\/strong><\/h2>\n

Il fatto che i due sottodomini si scambino informazioni a livello di interfaccia implica spesso la necessit\u00e0 di mappaggio dei dati<\/strong>. Il mappaggio serve a passare un campo (e.g. pressioni) calcolato su una griglia computazionale (e.g. dominio fluido) ad una griglia differente (e.g. dominio solido). In alcuni casi, anche utilizzando mesh conformi all\u2019interfaccia il mappaggio si rende comunque necessario. Il caso tipico \u00e8 rappresentato dalle simulazioni fluido struttura in cui solitamente il campo fluido viene risolto mediante approccio ai volumi finiti (i valori di campo sono quindi noti solo a centro cella), mentre il dominio solido viene risolto mediante analisi agli elementi finiti (e quindi sono richiesti i valori ai nodi).<\/p>\n

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Figura 3: mappaggio conservativo<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n

Il mappaggio \u00e8 un aspetto fondamentale della co-simulazione che necessariamente introduce degli errori numerici. Tra i vari tipi di mappaggio \u00e8 possibile distinguere in primis tra mappaggio conservativo e mappaggio consistente. Nel primo caso, ad esempio, i valori nodali della griglia pi\u00f9 fitta vengono aggregati tra loro (sommati) e mappati sulla griglia pi\u00f9 lasca (o vice-versa). In questo modo si garantisce la conservazione del valore complessivo del campo mappato (ad esempio una forza). Il mappaggio consistente, invece, prevede che a ogni nodo della griglia venga assegnato il valore posseduto dal nodo pi\u00f9 prossimo appartenente alla seconda griglia. Questo tipo di mappaggio viene tipicamente utilizzato nel caso di campi con quantit\u00e0 intensive come la temperatura.<\/p>\n

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Figura 4: mappaggio consistente<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n

Schemi numerici<\/h2>\n

Ultimo aspetto da trattare \u00e8 relativo agli schemi numerici. In particolare, \u00e8 importante differenziare tra schemi impliciti <\/strong>e schemi espliciti<\/strong>. La principale differenza \u00e8 da individuarsi nel numero di iterazioni di calcolo. Negli schemi espliciti, il passaggio di dati tra i domini avviene una sola volta per ogni istante temporale e, quindi, il calcolo avanza allo step successivo. Negli schemi impliciti, invece, a valle dello scambio di dati viene fatto un check sulla convergenza e, qualora i residui fossero troppo grandi, si procede con una ulteriore iterazione di calcolo. Questo ultimo approccio risulta pertanto molto pi\u00f9 accurato ma anche molto pi\u00f9 oneroso dal punto di vista computazionale.<\/p>\n

Vi sono per\u00f2 anche delle possibilit\u00e0 alternative. Nello specifico il sotto-rilassamento. Questa \u00e8 una tecnica di stabilizzazione per cui i dati letti da una mesh non sono passati direttamente all\u2019altra mesh ma opportunamente modificati; tipicamente vengono utilizzate combinazioni lineari dei risultati di pi\u00f9 iterazioni precedenti e non solo dell\u2019ultimo step. Tra i metodi di sotto-rilassamento principali \u00e8 possibile individuare il metodo a sotto-rilassamento costante (ottimale, ad esempio, per simulazioni fluido-struttura ad alto numero di Reynolds con Rf<\/sub>=0.5) o il metodo di Aitken in cui il fattore di sotto-rilassamento (Rf<\/sub>) viene adattato in modo automatico sulla base dei residui dell\u2019ultima iterazione.<\/p>\n

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Figura 5: FSI: comparison between different coupling schemes<\/figcaption><\/figure>\n

Conclusioni<\/strong><\/h2>\n

Padroneggiare le tecniche di accoppiamento di fisiche ed eventualmente software differenti \u00e8 la base per delle simulazioni ingegneristiche complesse ed accurate. Se anche voi siete interessati ad acquisire il know-how e portare in-house tutte le nozioni necessarie assieme a software opensource gratuiti, non esitare a contattarci.<\/p>\n<\/div>\n

L’articolo <strong>Simulazioni accoppiate: la differenza tra le metodologie di accoppiamento<\/strong><\/a> sembra essere il primo su Il Progettista Industriale<\/a>.<\/p>\n<\/div>\n

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Autore: Roberta Falco<\/p>\n

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