{"id":23264,"date":"2024-06-07T12:27:41","date_gmt":"2024-06-07T10:27:41","guid":{"rendered":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2024\/06\/07\/la-modellazione-del-contatto-mediante-elementi-finiti\/"},"modified":"2024-06-07T12:27:41","modified_gmt":"2024-06-07T10:27:41","slug":"la-modellazione-del-contatto-mediante-elementi-finiti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2024\/06\/07\/la-modellazione-del-contatto-mediante-elementi-finiti\/","title":{"rendered":"La modellazione del contatto mediante elementi finiti"},"content":{"rendered":"
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\"\"<\/div>\n
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I contatti sono un aspetto cruciale e molto diffuso nell\u2019ambito della progettazione meccanica. Quando si ha a che fare con un insieme composto da diversi componenti, come nella maggior parte dei sistemi meccanici, questi interagiscono tra loro, scambiandosi forze attraverso le superfici di contatto.<\/strong><\/p>\n

di Franco Concli <\/em><\/p>\n

Introduzione ai contatti <\/h2>\n

Il contatto rappresenta quindi la realt\u00e0 quotidiana per quasi tutti i progettisti meccanici e gli analisti strutturali. In particolare, quando si parla di meccanica del contatto bisogna anche considerare gli aspetti tribologici <\/strong>come la presenza di attrito<\/strong>. Le forze risultanti dalle interazioni tra solidi possono essere decomposte in componenti normali alla superficie di contatto \u2013 che possono essere di compressione o adesione \u2013 e in componenti tangenziali dovute di fatto all\u2019attrito.<\/p>\n

Esaminando le diverse scale con cui \u00e8 possibile affrontare il problema della modellazione dei contatti, risulta evidente come per il progettista meccanico sia fondamentale concentrarsi su quella branca della fisica che si occupa dello studio del contatto su scala intermedia. Limitarsi ad un approccio macroscopico non fornirebbe sufficienti informazioni per una progettazione di dettaglio. Viceversa, scendere ad una scala troppo piccola (meso o addirittura atomistica\/Ab Initio), sebbene utile per una migliore comprensione dei fenomeni fisici di base, non risulterebbe applicabile a sistemi reali a causa di una complessit\u00e0 di calcolo ad oggi ingestibile.<\/p>\n

La modellazione della scala intermedia implica la determinazione dello stato di sollecitazione, degli allungamenti e delle deformazioni di un sistema di corpi che interagiscono tra loro. Di conseguenza, le formulazioni matematiche della meccanica del contatto con attrito possono essere implementate all\u2019interno di un solutore ad elementi finiti<\/strong> (FEM<\/a>) in modo da riuscire ad avere una soluzione discreta (per punti) delle grandezze fisiche tipiche del contatto.<\/p>\n

Non-linearit\u00e0 del contatto<\/strong><\/h2>\n

I contatti tribologici tra corpi, va notato, hanno una natura unilaterale<\/strong>. Il che significa che il contatto non si comporta allo stesso modo nelle varie direzioni. Ad esempio, quando le forze applicate spingono le parti l\u2019una contro l\u2019altra, si generano forze di compressione (a causa della resistenza dei corpi elastici alla compenetrazione). Tuttavia, se si inverte la direzione delle forze applicate (cercando di allontanarli), i corpi possono separarsi liberamente senza generare resistenza alcuna. Questa non proporzionalit\u00e0 tra carico e deformazione, conferisce al contatto l\u2019etichetta di fenomeno non lineare (sebbene magari entrambi i corpi abbiano materiali dal comportamento lineare e geometrie delle superfici a contatto anch\u2019esse lineari). Un altro esempio di non linearit\u00e0 del contatto \u00e8 da individuarsi nell\u2019attrito radente<\/strong>.<\/p>\n

Modellazione del contatto mediante elementi finiti<\/strong><\/h2>\n

Per quanto riguarda gli strumenti messi a disposizione dai solutori FEM per modellare il contatto, essi possono essere differenti a seconda del software<\/a>. Tuttavia, tra le diverse strategie per mettere in relazione due corpi mediante l\u2019accoppiamento di due superfici, si possono avere approcci senza alcun elemento di contatto (e.g. incollaggio tra parti con mesh incongruenti), modellazione lineare del contatto (approssimazione) e modellazione non lineare del contatto. Ognuno di questi approcci ha i suoi vantaggi e svantaggi, ma la scelta dipende dalle specifiche esigenze del problema da studiare. L\u2019incollaggio, per sua natura, implica una relazione bilaterale, mentre il contatto \u00e8 sempre unilaterale, il che pu\u00f2 influenzare significativamente i risultati dell\u2019analisi.<\/p>\n

Le considerazioni sulla modellazione delle interazioni tra solidi sottolineano l\u2019importanza di scegliere l\u2019approccio pi\u00f9 appropriato in base alle specifiche del problema. Il contatto linearizzato \u00e8 una forma semplificata di quello non-lineare basato sull\u2019ipotesi di piccole deformazioni e materiale lineare. Sebbene un approccio di questo tipo semplifichi notevolmente la soluzione numerica e riduca di conseguenza il tempo di calcolo, va detto come solo un approccio non lineare offra la massima precisione e consenta di tenere in considerazione fenomeni complessi quali la plasticizzazione locale delle superfici e i grandi spostamenti.<\/p>\n

Le differenze tra il contatto lineare e non lineare sono dunque non trascurabili. Mentre il primo identifica l\u2019impronta delle superfici a contatto e parte da una condizione di contatto iniziale tra le parti, l\u2019approccio non lineare \u00e8 una procedura pi\u00f9 complessa che tiene conto anche dell\u2019eventuale distacco e dello scorrimento relativo delle parti.<\/p>\n

Tecniche di modellazione del contatto non lineare<\/strong><\/h2>\n

Prima di introdurre le varie tecniche di modellazione del contatto, \u00e8 utile ricordare che gli obiettivi dell\u2019analisi del contatto sono: <\/p>\n

    \n
  1. Verificare se due o pi\u00f9 corpi sono in contatto; <\/li>\n
  2. Individuare la posizione o la regione di contatto; <\/li>\n
  3. Misurare la forza di contatto o pressione all\u2019interfaccia; <\/li>\n
  4. Determinare se ci sia un moto relativo dopo il contatto nell\u2019interfaccia.<\/li>\n<\/ol>\n

    Un esempio applicativo<\/h3>\n

    A titolo di esempio si consideri una semplice trave incastrata soggetta ad un carico distribuito q <\/em>(ad esempio dovuto al peso proprio), dalle seguenti caratteristiche:<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n
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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Sotto l\u2019effetto della gravit\u00e0, l\u2019estremit\u00e0 non incastrata della trave tender\u00e0 a deflettersi verso il basso.<\/p>\n

    La sua deflessione pu\u00f2 essere calcolata mediante la seguente formula tabellata, risultando in 0.00125m<\/em>.<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    In presenza in un ostacolo che ne limiti la deflessione posto a distanza \u03b4 = 1mm, \u00e8 chiaro che la trave tender\u00e0 ad entrare in contatto con il supporto e scaricare parte del carico mediante il contatto. \u00c8 possibile determinare il valore della forza di reazione nel contatto mediante la formula per il calcolo della freccia per una trave caricata in punta da una forza \u03bb (opposta a q<\/em>).<\/p>\n

    \n
    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Il valore della forza pu\u00f2 essere determinato imponendo che VN <\/sub>(L) + VC <\/sub>(L) sia<\/em>uguale a \u03b4. Da qui \u00e8 possibile determinare:<\/p>\n

    \"\"<\/a><\/figure>\n

    Nel caso di implementazione in un software agli elementi finiti, sia la forza che il gioco g<\/em> sono incogniti. \u00c8 per\u00f2 possibile formulare il problema nel seguente modo:<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Quando \u03bb = 0 in contatto non ha luogo. Il contatto avviene quando \u03bb > 0. La condizione di gioco risulta g=Vapice<\/sub> \u2013 <\/em>\u03b4<\/em> < 0<\/em><\/em><\/p>\n

    Questo problema pu\u00f2 essere risolto in vari modi. Le tecniche pi\u00f9 comuni sono quelle basata sul \u201cpenalty method\u201d <\/strong>e sul \u201cLagrangian multiplier\u201d<\/strong>.<\/p>\n

    Moltiplicatore Lagrangiano<\/h4>\n

    La tecnica basata sul moltiplicatore Lagrangiano \u2013 una strategia matematica per trovare i massimi ed i minimi di una funzione soggetta a vincoli \u2013 parte dalle seguenti condizioni: non deve esserci compenetrazione (g<0)<\/em>; la forza di contatto deve essere positiva (\u03bb > 0) e che sia soddisfatta la condizione di consistenza (\u03bbg = 0).<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Il moltiplicatore Lagrangiano pu\u00f2 essere scritto come. Quando \u03bb = 0N <\/em>\u21e8 g = 0.00125 >\u00a0 0\u00a0\u00a0 <\/em>e la condizione di contatto risulta vincolata. Pertanto, la soluzione ammissibile risulta. \u03bb = 75N <\/em>\u21e8 g = 0, risultato che soddisfa la condizione di contatto.<\/p>\n

    Metodo della penalizzazione <\/h4>\n

    Questo approccio prevede la definizione della funzione penetrazione:<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Questa risulta essere 0 quando g<0<\/em> (nessun contatto) e pari a \u00a0quando g<0. <\/em>La forza di contatto \u00e8 definita come:<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    in cui KN<\/sub> \u00e8 in parametro di penalizzazione (una sorta di rigidezza).<\/p>\n

    Per in g=Vapice<\/sub> \u2013 \u03b4 < 0 <\/em>\u00a0\u00a0la penetrazione g<\/em> risulta:<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    La Tabella 1 mostra il valore della forza di contatto per differenti valori di penalizzazione.<\/p>\n

    \n\n\n\n\n\n\n
    KN<\/sub><\/em><\/td>\n-g [m]<\/em><\/td>\n\u03bb [N]<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
    3 \u22c5<\/strong> 105<\/sup><\/td>\n1.25 \u22c5<\/strong> 10-4<\/sup><\/td>\n37.50<\/td>\n<\/tr>\n
    3 \u22c5<\/strong> 107<\/sup><\/td>\n2.48 \u22c5<\/strong> 10-6<\/sup><\/td>\n68.18<\/td>\n<\/tr>\n
    3 \u22c5<\/strong> 109<\/sup><\/td>\n2.50 \u22c5<\/strong> 10-8<\/sup><\/td>\n75.00<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>
    Tabella 1: valori della forza di contatto in funzione del parametro di penalizzazione<\/em><\/figcaption><\/figure>\n

    Effetto dell\u2019attrito<\/strong><\/h3>\n
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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Proviamo ora a complicare un po\u2019 l\u2019esempio precedente pensando di applicare, a valle del carico q<\/em> anche un carico assiale P=100N<\/em> In presenza di un coefficiente di attrito \u00b5 = 0.5<\/em>, nel contatto si generer\u00e0 anche una forza tangenziale che in parte limiter\u00e0 l\u2019allungamento della trave.<\/p>\n

    Analogamente a quanto fatto per determinare la forza di contatto mediante le formule della deflessione, anche l\u2019allungamento di una trave soggetta ad una forza assiale pu\u00f2 essere determinato secondo la teoria di De Saint Venant risultando in:<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    In presenza di attrito, bisogna verificare se la forza tangenziale t<\/em> sia minore o maggiore del massimo carico \u00b5\u03bb<\/em>.<\/p>\n

    In caso \"\" si avr\u00e0 adesione, in caso contrario \"\"<\/p>\n

    vi sar\u00e0 slittamento. <\/p>\n

    Ipotizzando di essere nel primo caso (adesione) \u00e8 facile osservare come la forza t=100N<\/em> violi la condizione stessa di adesione. Pertanto, vi sar\u00e0 slittamento: lo spostamento assiale dell\u2019apice sar\u00e0 dato dalla differenza tra la forza P<\/em> e la forza t<\/em> divise per la rigidezza assiale (EA)\/L<\/em>.<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Moltiplicatore Lagrangiano<\/h4>\n

    Nel caso di modellazione agli elementi finiti, invece che seguire un approccio trial & error, si impiegano nuovamente il moltiplicatore Lagrangiano o la penalizzazione. Nel primo caso risulta:<\/p>\n

    \n
    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Quando \"\" viola la condizione di adesione.<\/p>\n

    Pertanto, \"\".<\/p>\n

    Metodo della penalizzazione<\/h4>\n

    Analogamente, utilizzando un approccio basato sul penalty method, \u00e8 possibile definire \"\". Lo spostamento pu\u00f2 essere calcolato come \"\" cui KT<\/sub><\/em> \u00e8 il parametro di penalit\u00e0 per lo slip.<\/p>\n

    Nuovamente, quando \"\" non vi \u00e8 penalizzazione mentre quanto \"\" si ha penalizzazione.<\/p>\n

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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    La forza risulta essere funzione di KT<\/sub><\/em>.<\/p>\n

    \n\n\n\n\n\n\n
    KN<\/sub><\/em><\/td>\nUtip<\/sub> [m]<\/em><\/td>\nt [N]<\/em><\/td>\n<\/tr>\n
    1 \u22c5<\/strong> 10-4<\/sup><\/td>\n5.68 \u22c5<\/strong> 10-4<\/sup><\/td>\n43.18<\/td>\n<\/tr>\n
    1 \u22c5<\/strong> 10-2<\/sup><\/td>\n6.24 \u22c5<\/strong> 10-6<\/sup><\/td>\n37.56<\/td>\n<\/tr>\n
    1 \u22c5<\/strong> 100<\/sup><\/td>\n6.25 \u22c5<\/strong> 10-8<\/sup><\/td>\n37.50<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>
    Tabella 2: valori della forza di attrito in funzione del parametro di penalizzazione<\/em><\/em><\/figcaption><\/figure>\n

    Ricerca del punto di contatto<\/strong><\/h2>\n
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    \"\"<\/a><\/figure>\n<\/div>\n

    Un altro problema aggiuntivo che si ha nel caso di modellazione dei contatti mediante elementi finiti \u00e8 l\u2019\u2019individuazione dei noti che entreranno a contatto e la distanza tra le superfici.<\/p>\n

    Senza entrare nei dettagli dei passaggi matematici di come questo viene fatto, basti sapere che \u00e8 sempre possibile calcolare la distanza di un nodo appartenente alla superficie di uno dei due corpi (identificata come \u201cslave\u201d) rispetto alla superfice \u201cmaster\u201d del secondo corpo. In linea con quanto detto sopra, la condizione di contatto pu\u00f2 essere descritta come segue: \u201cla superficie slave non pu\u00f2 penetrare nel corpo master\u201d. Ci\u00f2 fa si che ogni qualvolta un nodo slave violi la condizione di non-compenetrazione, a tale nodo venga applicata una forza di contatto in modo da spostarlo \u201cal di fuori\u201d del corpo master arrivando, per via iterativa, a rispettare la condizione di non-compenetrazione.<\/p>\n

    Conclusioni<\/strong><\/h2>\n

    La condizione di contatto \u00e8 una non-linearit\u00e0 di b bordo dovuta ad una forza di contatto dalla natura discontinua agente su una regione di contatto non nota. Per la risoluzione del contatto, sia esso con o senza attrito, vengono utilizzati principalmente due metodi: il metodo della penalizzazione o il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Il primo permette una piccola penetrazione, ma \u00e8 facile da implementare e richiede tempi di calcolo non trascurabili. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, invece, pu\u00f2 imporre la condizione di contatto con precisione, ma richiede variabili aggiuntive. Numericamente, il calcolo viene fatto sulla base del concetto di superfici master-slave.<\/p>\n

    Sebbene le difficolt\u00e0 intrinseche nella risoluzione dei problemi di contatto sia un fattore da non trascurare, i risultati ottenibili sono fondamentali per meglio comprendere lo stato di sollecitazione dei sistemi meccanici ed ottimizzarli.<\/p>\n<\/div>\n

    L’articolo La modellazione del contatto mediante elementi finiti<\/a> sembra essere il primo su Il Progettista Industriale<\/a>.<\/p>\n<\/div>\n

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    Autore: Roberta Falco<\/p>\n

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