{"id":22145,"date":"2023-02-24T10:12:51","date_gmt":"2023-02-24T09:12:51","guid":{"rendered":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2023\/02\/24\/quaderni-di-progettazione-il-fenomeno-dellinstabilita-elastica\/"},"modified":"2023-02-24T10:12:51","modified_gmt":"2023-02-24T09:12:51","slug":"quaderni-di-progettazione-il-fenomeno-dellinstabilita-elastica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/test.cfdfeaservice.it\/index.php\/2023\/02\/24\/quaderni-di-progettazione-il-fenomeno-dellinstabilita-elastica\/","title":{"rendered":"Quaderni di progettazione: il fenomeno dell\u2019instabilit\u00e0 elastica"},"content":{"rendered":"
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\"Instabilit\u00e0<\/div>\n
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L\u2019instabilit\u00e0 elastica \u00e8 un meccanismo caratteristico delle strutture snelle che porta a cedimenti anche quando le sollecitazioni nel componente sono ben al di sotto del limite elastico.<\/em><\/p>\n

Un componente meccanico soggetto a carichi di tipo statico pu\u00f2 cedere anche a fronte di un meccanismo differente da quello legato al superamento dei limiti di resistenza (snervamento o rottura) del materiale di cui \u00e8 costituito. Un esempio in tal senso \u00e8 quello di un cedimento tipico di strutture soggetti a carichi compressivi e detto per instabilit\u00e0 elastica.<\/p>\n

Tale tipologia di cedimento \u00e8 particolarmente gravosa in quanto si manifesta anche a carichi inferiori a quelli limite caratteristici del materiale in oggetto. Inoltre, questo tipo di cedimento avviene solitamente in modo improvviso. Esempi di componenti meccanici che storicamente manifestano questa tipologia di problema sono le bielle, le molle ad elica, gli ingranaggi a vite etc..<\/p>\n

Ci\u00f2 che accomuna questi organi di macchina \u00e8 la loro caratteristica snellezza, per cui, in presenza di un sufficiente carico compressivo, si ha un\u2019inflessione trasversale (fenomeno di sbandamento o buckling<\/em>).<\/p>\n

Il carico massimo che il componente pu\u00f2 sopportare prima di cedere per instabilit\u00e0 \u00e8 chiamato carico critico e solitamente indicato con Pcr. Ogni valore superiore a tale carico provoca, per quel componente, il cedimento per buckling.<\/p>\n

Carico critico di Eulero per le travi snelle<\/h2>\n

Il caso pi\u00f9 semplice di elementi che possono cedere per instabilit\u00e0 da carico di punta \u00e8 rappresentato dalla cosiddetta asta di Eulero. Ipotizzando che la trave in oggetto risulti omogenea, isotropa e perfettamente rettilinea, che il carico (compressivo) sia perfettamente assiale, che lo stato di sollecitazione della trave sia puramente elastico e che l\u2019inflessione si abbia su un unico piano, \u00e8 possibile derivare una espressione matematica in grado di descrivere queta tipologia di cedimento. Si consideri lo schema questa figura<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

se il carico (P) rimane al di sotto del carico critico (Pcr<\/sub>), l\u2019asta rester\u00e0 rettilinea, in caso contrario si avr\u00e0 una sua deflessione.<\/p>\n

Si consideri ora la condizione limite per cui P \u00e8 appena superiore al carico Pcr<\/sub>. In queste condizioni, anche una forza radiale F di piccolissima entit\u00e0 (disequilibrio) porta subito ad una deformazione della trave, che oltretutto rimarr\u00e0 deformata anche a seguito della rimozione della forza F. Al contrario, una piccola riduzione del carico assiale P tale per cui P < Pcr<\/sub>, porter\u00e0 subito al raddrizzamento della trave e scomparsa della deformazione.<\/p>\n

Per descrivere matematicamente questa evidenza \u00e8 possibile basarsi sull\u2019equazione della linea elastica. Per una trave sorretta da due appoggi (cerniera carrello) e caricata assialmente, tale equazione differenziale del secondo ordine ammette una soluzione per lo spostamento v che, considerando che in corrispondenza delle cerniere tale spostamento deve risultare nullo, risulta essere\"Instabilit\u00e0<\/a>In cui L \u00e8 la lunghezza della trave mentre n \u00e8 un numero intero detto numero di semionde. La costante C1<\/sub> rappresenta la massima inflessione della trave.<\/p>\n

Il valore minimo di P, detto Carico Critico Euleriano, si ha con n=1 \"\"<\/a>Questo \u00e8 il carico minimo per cui l\u2019asta pu\u00f2 risultare soggetta a deformazione per instabilit\u00e0. n pari a 1 significa che la deformata sar\u00e0 semplicemente un arco di cerchio passante per i due punti, ovvero former\u00e0 una sola semionda. Viceversa, con n=2, il valore del carico critico quadruplica ma si possono avere deformate con una doppia onda (sinusoide completa).<\/p>\n

Si noti come il valore del carico critico non dipenda dalle caratteristiche di resistenza del materiale con cui \u00e8 realizzata la trave ma solo da lunghezza L, dalle propriet\u00e0 inerziali J e modulo di elasticit\u00e0 E. Dalla formula di Eulero \u00e8 anche facile intuire come l\u2019instabilit\u00e0 di avr\u00e0 nel piano con propriet\u00e0 inerziali minime. Da qui \u00e8 immediato intuire come mai spesso le colonne abbiano sezione circolare (momenti di inerzia bilanciati).<\/p>\n

\"Instabilit\u00e0<\/a>
Lunghezza libera di inflessione per asta appoggio-appoggio (LL=L), incastro-incastro (LL=\u00bdL) con un solo incastro (LL=2L.), asta incastro-appoggio (LL=L\/\u221a2)<\/figcaption><\/figure>\n

Allo stesso modo di quanto fatto per un\u2019asta con doppio appoggio, \u00e8 possibile, partendo dall\u2019equazione della linea elastica, determinare la soluzione in termini di inflessione v per un\u2019asta con doppio incastro che risulter\u00e0<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

in cui M0<\/sub> \u00e8 la relazione vincolare data dall\u2019incastro. In questo caso, il carico critico risulta<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

con LL<\/sub>=\u00bdL. LL<\/sub> \u00e8 detta lunghezza libera di inflessione, e rappresenta la distanza tra due punti in cui il momento flettente risulta nullo. Nel caso di trave incastrata ad un\u2019estremit\u00e0 e appoggiata (libera di ruotare) all\u2019altra, la lunghezza libera di inflessione risulta LL<\/sub>=L\/\u221a2. Infine, una trave incastrata solamente ad un\u2019estremit\u00e0 avr\u00e0 una lunghezza libera di inflessione pari a LL<\/sub>=2L.<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n

Conclusioni<\/h2>\n

Sebbene l\u2019instabilit\u00e0 sia un fenomeno che coinvolge solamente componenti snelli soggetti a carichi compressivi, \u00e8 buona norma in fase di progettazione verificare che i carichi massimi non superino quelli critici e garantire alla struttura la stabilit\u00e0.<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n<\/div>\n

L’articolo Quaderni di progettazione: il fenomeno dell\u2019instabilit\u00e0 elastica<\/a> sembra essere il primo su Il Progettista Industriale<\/a>.<\/p>\n<\/div>\n

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Autore: Redazione<\/p>\n

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